Question

在△ABC中，已知a=3，b=2，cosA=-

4

5

．
（Ⅰ）求sinB的值；
（Ⅱ）求sin（A-B）的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由cosA的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，再由a，b及sinA的值，利用正弦定理即可求出sinB的值；
（Ⅱ）由cosA的值小于0，得到A为钝角，可得B为锐角，根据sinB的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosB的值，进而利用两角和与差的正弦函数公式化简sin（A-B）后，将各自的值代入即可求出值．

解答：解：（Ⅰ）在△ABC中，cosA=-

4

5

，
∴sinA=

1-cos2A

=

1-(- 4 5 )2

=

3

5

，…（2分）
∵a=3，b=2，sinA=

3

5

，
由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

得：sinB=

b

a

sinA=

2

3

×

3

5

=

2

5

；…（6分）
（Ⅱ）∵cosA=-

4

5

，∴角A为钝角，从而角B为锐角，
∵sinB=

2

5

，
∴cosB=

1-sin2B

=

1-( 2 5 )2

=

21

5

，…（8分）
则sin（A-B）=sinAcosB-cosAsinB=

3

5

×

21

5

+

4

5

×

2

5

=

3 21 +8

25

．…（12分）

点评：此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键．