题目内容

△ABC中，角A，B，C大小成等差数列，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且b=
7
2
a，求sinA和cos（2A+B）的值．
分析：△ABC中，角A、B、C成等差数列⇒B=
π
3
；依题意，利用正弦定理可求得sinB=
7
2
sinA，从而可求得sinA；再利用两角和的余弦可求得cos（2A+B）的值．
解答：解：∵△ABC中，角A、B、C成等差数列，
∴2B=A+C=π-B，
∴3B=π，
∴B=
π
3
．
又b=
7
2
a，
由正弦定理
a
sinA
=
b
sinB
可得sinB=
7
2
sinA，
∴sinA=
2
7
sinB=
2
7
•
3
2
=
21
7
．
又b=
7
2
a＞a，
∴A为锐角，故cosA=
2
7
7
．
则有sin2A=2sinAcosA=
4
3
7
，cos2A=2cos2A-1=
1
7
．
∴cos（2A+B）
=cos2AcosB-sin2AsinB
=
1
7
×
1
2
-
4
3
7
•
3
2

=-
11
14
．
点评：本题考查正弦定理的应用，着重考查两角和与差的余弦函数，考查二倍角公式，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
（2012•丰台区一模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asinB-bcosC=ccosB．
（Ⅰ）判断△ABC的形状；
（Ⅱ）若f(x)=
1
2
cos2x-
2
3
cosx+
1
2
，求f（A）的取值范围．
（2012•德州一模）已知函数f(x)=
3
sinxcosx-cos2x+
1
2
(x∈R)
（I）求函数f（x）的最小正周期及在区间[0，
5π
12
]上的值域；
（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，又f(
A
2
+
π
3
)=
4
5
，b=2，面积S△ABC=3，求边长a的值．
（2012•卢湾区一模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=2bcosC，b+c=3a．求sinA的值．
（2012•石景山区一模）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且（2a-c）cosB=bcosC．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若A=
π4
，a=2，求△ABC的面积．
在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，向量
m
=(1，cosB)，
n
=(sinB，-
3
)，且
m
⊥
n
．
（1）求角B的大小；
（2）若△ABC面积为
3
3
2
，3ac=25-b2，求a，c的值．

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