Question

已知双曲线的中心在原点，焦点F₁、F₂在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)．

(1)求双曲线的方程；

(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：·＝0；

(3)在(2)的条件下，求△F₁MF₂的面积．

Answer 1

 (1)∵e＝，

∴可设双曲线方程为x²－y²＝λ(λ≠0)，

∵双曲线过点(4，－)，∴16－10＝λ，即λ＝6，

∴双曲线方程为－＝1.

(2)证明：法1：由(1)可知，双曲线中a＝b＝，

∴c＝2，

∴F₁(－2，0)，F₂(2，0)，

∵点M(3，m)在双曲线上，∴m²＝3，

∴kMF₁·kMF₂＝－1，∴MF₁⊥MF₂，即·＝0.

法2：∵＝(－2－3，－m)，

＝(2－3，－m)，

∴＝(－2－3)×(2－3)＋m²＝－3＋m²，

∵点M在双曲线上，

∴9－m²＝6，即m²－3＝0，∴＝0.

(3)∵△F₁MF₂的底边长|F₁F₂|＝4，△F₁MF₂的高h＝|m|＝，

∴S△F₁MF₂＝6.