Question

已知函数f（x）=|x²-x-6|
（1）作出函数f（x）的图象，指出函数f（x）的单调递增区间；
（2）若对任意x₁，x₂∈[t，t+1]，且x₁≠x₂，都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0成立，试求实数t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用绝对值的几何意义，我们可以把函数写出分段函数的形式，这样就可以作出函数的图象，根据图象可知函数的单调递增区间；
（2）依题意可知：f（x）在[t，t+1]上是增函数，利用（1）的结论，可以结论不等式，这样就能求实数t的取值范围．

解答：解：函数f（x）=|x²-x-6|=

x2-x-6，x≤-2或x≥3 -x2+x+6，-2＜x＜3

，作出图象如下：

根据图象可知，单调递增区间为[3，+∞）和[-2，

1

2

)…（5分）
（2）依题意，对任意x₁，x₂∈[t，t+1]，且x₁≠x₂，都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0成立
可知：f（x）在[t，t+1]上是增函数，所以t≥3或

t≥-2 t+1≤ 1 2

，解得-2≤t≤-

1

2

，
所以t∈[-2，-

1

2

]∪[3，+∞)…（8分）

点评：绝对值函数的研究，通常都是将绝对值符号化去，转化为常见初等函数，利用函数的图象可以确定函数的单调区间的．