Question

设二次函数f（x）=ax²-4x+c（a＞0）．
（1）若f（1）=0，解不等式f（x）≥0；
（2）若f（x）的值域为[0，+∞），且f（1）≤4，则u=

a

c2+4

+

c

a2+4

的最大值．

Answer 1

分析：（1）根据f（1）=0，得到a-4+c=0，即c=4-a并代入函数f（x）=ax²-4x+c得a（x-1）（x-

4-a

a

）≥0，分类讨论解此不等式即可；
（2）根据f（1）≤4，求得4≤a+c≤8由题意可知，a＞0，△=0，从而求出ac=4，将所求式子中的4代换成ac，利用裂项法进行整理，进而利用函数的单调性求得u=

a

c2+4

+

c

a2+4

的最大值．

解答：解（1）∵f（1）=0，∴a-4+c=0，c=4-a，（1分）
∴不等式f（x）≥0即ax²-4x+c＞0，即a（x-1）（x-

4-a

a

）≥0．（3分）
①a＞2时，

4-a

a

＜1，不等式的解集为（-∞，

4-a

a

）∪[1，+∞）；
②a=2时，

4-a

a

=1，不等式的解集为R；
③0＜a＜2时，

4-a

a

＞1，不等式的解集为（-∞，1]∪[

4-a

a

，+∞）．
综上所述，不等式的解集为：a＞2时，不等式的解集为（-∞，

4-a

a

）∪[1，+∞）；
a=2时，不等式的解集为R；
0＜a＜2时，

4-a

a

＞1，不等式的解集为（-∞，1]∪[

4-a

a

，+∞）．
（2）f（x）的值域为[0，+∞），故

a＞0 △=(-4)2-4ac=0

，即

a＞0 ac=4

又0≤f（1）≤4，即0≤a-4+c≤4，
所以4≤a+c≤8（10分）
u=

a

c2+ac

+

c

a2+ac

=

a2+c2

ac(a+c)

=

(a+c)2-2ac

ac(a+c)

=

a+c

4

-

2

a+c

（12分）
由y=t-

1

2t

的单调性，u_max=

7

4

（16分）

点评：此题是中档题．考查一元二次不等式的解法，体现了分类讨论的思想，注意分类标准的确定（比较两根的大小），利用基本不等式求函数最值是高考考查的重点内容，对不符合基本不等式形式的应首先变形，然后必须满足三个条件：一正、二定、三相等．同时注意裂项法的运用，同时考查了运算能力．