Question

已知复数z₁=bcosC+（a+c）i，z₂=（2a-c）cosB+4i，且z₁=z₂，其中A、B、C为△ABC的内角，a、b、c为角A、B、C所对的边．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若b=2

2

，求△ABC的面积．

Answer 1

（Ⅰ）∵z₁=z₂
∴bcosC=（2a-c）cosB①，a+c=4，②（2分）
由①得2acosB=bcosC+ccosB，③（3分）
在△ABC中，由正弦定理得

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

，
设

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=k（k＞0）
则a=ksinA，b=ksinB，c=ksinC，代入③
得； 2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB，（4分）
2sinAcosB=sin（B+C）=sin（π-A）=sinA  （5分）
∵0＜A＜π∴sinA＞0
∴cosB=

1

2

，
∵0＜B＜π∴B=

π

3

（7分）
（Ⅱ）∵b=2

2

，由余弦定理得b²=a²+c²-2accosB?a²+c²-ac=8，④（10分）
由②得a²+c²+2ac=16⑤
由④⑤得ac=

8

3

，（12分）
∴S△ABC=

1

2

acsinB=

1

2

×

8

3

×

3

2

=

2 3

3

．（14分）