Question

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，，∠ABC=90°，N、F分别为A₁C₁、B₁C₁的中点．
（Ⅰ）求证：CF⊥平面NFB；
（Ⅱ）求四面体F-BCN的体积．

Answer 1

【答案】分析：（I）根据直棱柱的性质及AB⊥BC，判定NF与平面BC₁的垂直关系，再由线面垂直的性质判断线线垂直，然后由线线垂直⇒线面垂直．
（II）根据三棱锥的换底性求解即可．
解答：证明：（Ⅰ）直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
B₁B⊥AB，BC⊥AB，又B₁B∩BC=B，
∴AB⊥平面BB₁C₁C．
又N、F分别为A₁ C₁、B₁ C₁的中点
∴AB∥A₁B₁∥NF．
∴NF⊥平面BB₁C₁C．
∵FC?平面BB₁C₁C．∴NF⊥FC．
∵BB₁=B₁F=C₁F=a，∴BF=CF=a，BC=2a，
∴BF²+CF²=BC²．
∴BF⊥FC，又 NF∩FB=F，
∴FC⊥平面NFB．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，NF⊥平面BCC₁B₁，，
=．
点评：本题考查线面垂直的判定及四面体的体积．