题目内容
【题目】已知
，函数
.
（1）若函数
在
上单调递增，求a的取值范围；
（2）用反证法证明：函数不可能为
上的单调函数.
【答案】（1）
.（2）证明见解析
【解析】
（1）函数
在
上单调递增，说明
，对于
都成立，得到
，令
，则
，转化求解即可；
（2）证明：假设为
上单调函数，则为上单调递增函数或上单调递减函数，
①若函数为上单调递增函数，则，对于
都成立，推出不可能为上的单调增函数，②若函数为上单调递减函数，则
，对于都成立，推出不能为上的单调递减函数，说明函数不可能为上的单调函数.
（1）函数在上单调递增，
所以，对于都成立，
即
，对于都成立，
故有
，
令，则，
故
在上单调递增，
，
∴a的取值范围是；
（2）假设为R上单调函数，则为R上单调递增函数或R上单调递减函数，
①若函数为R上单调递增函数，则，对于都成立，
即
恒成立.
由
，
对于都恒成立，
由
的开口向上的抛物线，
则
，不可能恒成立，
所以不可能为R上的单调增函数；
②若函数为R上单调递减函数，则，对于都成立，
即
恒成立，
由，
对于都恒成立，
故由
，整理得：
，显然不成立，
所以，不能为R上的单调递减函数，
综上，可知函数不可能为R上的单调函数.
【题目】某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过
的包裹收费10元；重量超过的包裹，除收费10元之外，超过的部分，每超出（不足时按计算）需再收5元.公司从承揽过的包裹中，随机抽取100件，其重量统计如下：
包裹重量（单位： |
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包裹件数 | 43 | 30 | 15 | 8 | 4 |
公司又随机抽取了60天的揽件数，得到频数分布表如下：
揽件数 |
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天数 | 6 | 6 | 30 | 12 | 6 |
以记录的60天的揽件数的频率作为各揽件数发生的概率
（1）计算该公司3天中恰有2天揽件数在
的概率；
（2）估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值；
（3）公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的用做其他费用，目前前台有工作人员3人，每人每天揽件不超过150件，每人每天工资100元，公司正在考虑是否将前台工作人员裁减1人，试计算裁员前后公司每日利润的数学期望，并判断裁员是否对提高公司利润有利？
（注：同一组中的揽件数以这组数据所在区间中点值作代表）
