Question

设二次函数f（x）=ax²-4x+c的值域为[0，+∞），则u=

1

c2+1

+

4

a2+4

的最小值为

2

3

．

Answer 1

分析：先由二次函数的性质得出a、c满足的关系式，再利用换元法得到关系一个字母的式子，通过求导即可求出其最小值．

解答：解：∵二次函数f（x）=ax²-4x+c的值域为[0，+∞），∴

a＞0 △=16-4ac=0

，解得a＞0，c＞0，ac=4．
∴c=

4

a

，代入u得u=

1

( 4 a )2+1

+

4

a2+4

=

a2

a2+16

+

4

a2+4

．
令a²=t＞0，u=v（t）=

t

t+16

+

4

t+4

，
∴v^′（t）=

t+16-t

(t+16)2

+

-4

(t+4)2

=

12(t2-64)

(t+4)2(t+16)2

，
令v^′（t）=0，（t＞0），解得t=8．
当0＜t＜8时，v^′（t）＜0，函数v（t）单调递减；当t＞8时，v^′（t）＞0，函数v（t）单调递增．
故当t=8时，函数v（t）取得最小值v（8）=

8

8+16

+

4

8+4

=

2

3

．
∴则u=

1

c2+1

+

4

a2+4

的最小值为

2

3

．
故答案为

2

3

．

点评：熟练掌握二次函数的性质和利用导数求函数的最值是解题的关键．