题目内容

已知{an}是等差数列，其中a1=25，前四项和S4=82．
（1）求数列{an}的通项公式an；
（2）令bn=
an
2n
，①求数列{bn}的前n项之和Tn．②
1
4
是不是数列{bn}中的项，如果是，求出它是第几项；如果不是，请说明理由．
分析：（1）由等差数列的求和公式及已知a1可求公差d，进而可求通项公式
（2））①由（1）可得，bn=
an
2n
=
28-3n
2n
，结合该数列的特点考虑利用错位相减求和
②令
28-3n
2n
=
1
4
，可得2n-2+3n-28=0．构造函数f（x）=2x-2+3x-28，结合函数f（x）在R上单调性及零点存在定理判断函数的零点是否存在正整数
解答：解：（1）由等差数列的前n项和公式可得，S4=4a1+
4×3
2
d=82，a1=25
∴d=-3∴an=28-3n（3分）
（2）①由（1）可得，bn=
an
2n
=
28-3n
2n

∴Tn=
25
2
+
22
22
+
19
23
+…+
28-3n
2n
（1分）
1
2
Tn=
25
22
+
22
23
+
19
24
+…+
28-3n
2n+1

相减得Tn=22+
3n-22
2n
（3分）
②令
28-3n
2n
=
1
4
，解得2n-2+3n-28=0．
令f（x）=2x-2+3x-28，明显f（x）在R上单调递增．
f（5）=-5＜0，f（6）=6＞0，所以f（x）有唯一零点x0∈（5，6），不是整数．
所以
1
4
不是数列{bn}中的项．                       （3分）
点评：本题综合考查了等差数列的求和公式及通项公式的应用，错位相减求和方法的应用一直是数列求和中的考查热点之一，而零点存在定理的应用更是加强的数列与函数的综合应用．
练习册系列答案
相关题目
已知
i
=(1，0)，
jn
=(cos2
nπ
2
，sin
nπ
2
)，
Pn
=(an，sin
nπ
2
)(n∈N+)，数列{an}满足：a1=1，a2=1，an+2=(i+
jn
)•
Pn
．
（I）求证：数列{a2k-1}是等差数；数列{a2k}是等比数列；（其中k∈N*）；
（II）记an=f（n），对任意的正整数n≥2，不等式（cosnπ）[f（n2）-λf（2n）]≤0，求λ的取值范围．

设Sn是等差数{an}的前n项和，已知S6=36，Sn=324，若Sn-6=144（n>6）,则n等于

A.15                 B.16             C.17                D.18
已知
i
=(1，0)，
jn
=(cos2
nπ
2
，sin
nπ
2
)，
Pn
=(an，sin
nπ
2
)(n∈N+)，数列{an}满足：a1=1，a2=1，an+2=(i+
jn
)•
Pn
．
（I）求证：数列{a2k-1}是等差数；数列{a2k}是等比数列；（其中k∈N*）；
（II）记an=f（n），对任意的正整数n≥2，不等式（cosnπ）[f（n2）-λf（2n）]≤0，求λ的取值范围．
已知满足：．
（I）求证：数列{a2k-1}是等差数；数列{a2k}是等比数列；（其中k∈N*）；
（II）记an=f（n），对任意的正整数n≥2，不等式（cosnπ）[f（n2）-λf（2n）]≤0，求λ的取值范围．

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