Question

已知函数f（x）=x²+ax-lnx-1
（1）当a=3时，求函数f（x）的单调区间；
（2）函数f（x）在（2，4）上是减函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵函数f（x）=x²+ax-lnx-1，其定义域为（0，+∞）．
∴，当；
令f^′（x）=0，解得．
如下表：
由表格可知：在区间（0，），（1，+∞）上f′（x）＜0，函数f（x）为减函数；
在区间（，1）上f′（x）＞0．函数f（x）为增函数．
（2）∵函数f（x）在（2，4）上是减函数，则，在x∈（2，4）上恒成立．
．
令g（x）=，则≥0，在（2，4）上恒成立，
∴g（x）在（2，4）上单调递增，∴g（x）．
因此实数a的取值范围．
分析：（1）先求导，令导数等于0，得出其极值点，列出其表格，进而得出其单调区间；
（2）函数f（x）在（2，4）上是减函数?f^′（x）在区间（2，4）恒成立，通过分离参数，再利用导数求出其最值即可．
点评：熟练掌握利用导数研究函数的单调性和极值、最值是解题的关键．分离参数法、等价转化法必须掌握．