Question

过直线y=x上的一点P作圆（x-5）²+（y-1）²=2的两条切线l₁，l₂，A，B为切点，当直线l₁，l₂关于直线y=x对称时，则∠APB=

1. A.
   30°
2. B.
   45°
3. C.
   60°
4. D.
   90°

Answer 1

C
分析：判断圆心与直线的关系，在直线上求出特殊点，P的方程，利用切线长、半径以及该点与圆形连线构成直角三角形，求出∠APB的值．
解答：显然圆心（5，1）不在直线y=x上．
由对称性可知，只有直线y=x上的特殊点，这个点与圆心连线垂直于直线y=x，从这点做切线才能关于直线y=x对称．
所以该点与圆形连线所在的直线方程为：y-5=-（x-1）即 y=6-x
与 y=x联立可求出该点坐标为（3，3），
所以该点到圆心的距离为（（5-3）²+（1-3）²=2
切线长、半径以及该点与圆形连线构成直角三角形，又知圆的半径为．
所以夹角的一半的正弦值为=
所以夹角∠APB=60°
故选C．
点评：本题是中档题，考查直线与圆的位置关系，直线与圆相切的关系的应用，考查计算能力，常考题型．