Question

过直线y=x上的一点作圆（x-5）²+（y-1）²=2的两条切线l₁、l₂，当直线l₁、l₂关于y=x对称时，它们之所成的锐角的大小（　　）

A．30°

B．45°

C．60°

D．75°

Answer 1

分析：设l₁、l₂交点为P，圆心为Q，切点分别为A、B，则PQ⊥直线l：y=x，由点到直线距离公式可求点Q（5，1）到l的距离PQ，圆的半径|QA|=

2

，在Rt△APQ中，由sin∠APQ=

|QA|

|PQ|

=

1

2

sin∠APQ=

AQ

PQ

可求∠APQ，然后由APB=2∠APQ可求

解答：解：设l₁、l₂交点为P，圆心为Q，切点分别为A、B，
根据两条切线关于y=x对称，得到PQ⊥直线y=x，
∴由圆的方程得到圆心Q（5，1）到l：y=x的距离|PQ|=

|5-1|

2

=2

2

，半径|QA|=

2

由切线的性质可得，PA⊥AQ，PB⊥BQ
在Rt△APQ中，PQ=2

2

，AQ=

2

∴sin∠APQ=

|QA|

|PQ|

=

1

2

故∠APQ=30°，∠APB=2∠APQ=60°
故选C

点评：本题主要考查直线和圆的方程等基础知识，考查空间想象能力和分析问题、解决问题的能力．