Question

设函数f（x）的定义域为[-1，1]，
（1）若f（0）=-1，求t的值和f（x）的零点；
（2）记h（t），g（t）分别是f（x）的最大值、最小值，求函数F（t）=h（t）-g（t）的解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据cos=0得出α=，然后代入函数中，再由特殊角的三角函数值求出结果，然后化简得出f[cos（α+）]=2cos²（a+）+cos（a+）-1，再 令x=cos（a+）得出f（x）=2x²+x-1，即可求出零点．
（2）讨论开口方向和对称轴与区间[-1，1]的位置关系，根据函数的单调性求出函数的最值，从而求出函数F（t）的解析式．
解答：解：（1）令α=
∴f（cos）=tcosπ+sin（）+cos（）=-t=-1
∴t=1
∴f[cos（α+）]=cos（2a+）+sin（α+）+cos（a+）
=cos2（a+）+sin[（a+）+]+cos[（a+）+]
=2cos²（a+）+cos（a+）-1
  令x=cos（a+）
∴f（x）=2x²+x-1
∵-1≤x≤1
∴x₁=-1 x₂=
（2）f[cos（α+）]=tcos（2a+）+sin（α+）+cos（a+）
=tcos2（a+）+sin[（a+）+]+cos[（a+）+]
=2tcos²（a+）+cos（a+）-t 
  令x=cos（a+）
∴f（x）=2tx²+x-t    x∈[-1，1]，
当t＞0时，函数f（x）开口向上
-≤-1时即0＜t≤，函数在[-1，1]上为增函数，最大值为h（t）=t+1，最小值为g（t）=t-1
-1＜-＜1时即t＞，函数在[-1，-]上为减函数，在[-，1]上为增函数，最大值为h（t）=t+1，最小值为g（t）=
当t=0时，函数在[-1，1]上为增函数，最大值为h（t）=1，最小值为g（t）=-1
当t＜0时，函数f（x）开口向下
-1＜-＜1时即t＜-，函数在[-1，-]上为增函数，在[-，1]上为减函数，最大值为h（t）=，最小值为g（t）=t-1
-≥1时即0＞t≥-，函数在[-1，1]上为减函数，最大值为h（t）=t-1，最小值为g（t）=t+1
∴F（t）=h（t）-g（t）=
点评：本题考查了三角函数的化简求值以及函数零点的求法，求函数的零点时要注意x的范围，以及函数最值的应用，同时考查了计算能力，属于中档题．