Question

对于任意满足θ∈[0，

π

2

]的θ，使得|sinθ-pcosθ-q|≤

2 -1

2

恒成立的所有实数对（p，q）是

(-1，

1+ 2

2

)

．

Answer 1

分析：根据对于任意满足θ∈[0，

π

2

]的θ，使得|sinθ-pcosθ-q|≤

2 -1

2

恒成立，则取θ=0，

π

4

，

π

2

时恒成立，然后解不等式可求出p的值，代入|sinθ-pcosθ-q|≤

2 -1

2

可求出q的值，从而求出所求．

解答：解：∵对于任意满足θ∈[0，

π

2

]的θ，使得|sinθ-pcosθ-q|≤

2 -1

2

恒成立
∴当θ=0时，|p+q|≤

2 -1

2

①
当θ=

π

4

时，|

2

2

（1-p）-q|≤

2 -1

2

②
当θ=

π

2

时，|1-q|≤

2 -1

2

③
①+②-1-2

2

≤p≤-1
由②③消去q得-1≤p≤3-2

2

∴p=-1
∴|

2

sin（θ+

π

4

）-q|≤

2 -1

2

∴|

2

-q|≤

2 -1

2

，|1-q|≤

2 -1

2

解得q=

1+ 2

2

∴实数对（p，q）是(-1，

1+ 2

2

)
故答案为：(-1，

1+ 2

2

)

点评：本题主要考查了函数恒成立，以及利用夹逼法则求值，同时考查了不等式的解法，属于中档题．