题目内容

定义在R上的函数y=f（x）满足下列两个条件：（1）对于任意的0≤x1＜x2≤2，都有f（x1）＜f（x2）；（2）y=f（x+2）的图象关于y轴对称．则下列结论中，正确的是（　　）
分析：由已知中：（1）对于任意的0≤x1＜x2≤2，都有f（x1）＜f（x2）；（2）y=f（x+2）的图象关于y轴对称．我们可以判断出函数y=f（x）在区间（2，4]上为减函数，且f(
1
2
)=f(
7
2
)，进而得到答案．
解答：解：∵对于任意的0≤x1＜x2≤2，都有f（x1）＜f（x2）；
∴函数y=f（x）在区间[0，2）上为增函数
又∵y=f（x+2）的图象关于y轴对称
∴函数y=f（x）的图象关于直线x=2对称
即函数y=f（x）在区间（2，4]上为减函数，且f(
1
2
)=f(
7
2
)
∴f(
7
2
)＜f(3)＜f(
5
2
)
∴f(
1
2
)＜f(3)＜f(
5
2
)
故选B
点评：本题是函数奇偶性与单调性的综合，其中根据已知条件确定出函数在区间（2，4]上的单调性，是解答本题的关键．
练习册系列答案
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11、定义在R上的函数y=f（x）满足f（-x）=-f（x），f（1+x）=f（1-x），当x∈[-1，1]时，f（x）=x3，则f（2009）的值是（　　）
13、定义在R上的函数y=f（x）满足：f（x）=f（4-x），且f（x-2）+f（2-x）=0，则f（508）=
0
．
定义在R上的函数y=f(x)满足f(3-x)=f(x)，(x-
3
2
)f′(x)＞0(x≠
3
2
)，若x1＜x2，且x1+x2＞3，则有（　　）
下列四个命题：
①“a＞b”是“2a＞2b”成立的充要条件；
②“a=b”是“lga=lgb”成立的充分不必要条件；
③函数f（x）=ax2+bx（x∈R）为奇函数的充要条件是“a=0”
④定义在R上的函数y=f（x）是偶函数的必要条件是“
f(-x)f(x)
=1”．
其中真命题的序号是
①③
①③
．（把真命题的序号都填上）
定义在R上的函数y=f（x）满足f（-x）=-f（x），f（1+x）=f（1-x），当x∈[-1，1]时，f（x）=x3，则f（2011）=
-1
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．

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