Question

已知函数f（x）=

mx+n

1+x2

是定义在[-

1

2

，

1

2

]上是奇函数，且f（-

1

4

）=

8

17

（1）确定函数f（x）解析式
（2）用定义证明函数f（x）在[

1

2

，

1

2

]上是减函数
（3）若实数t满足f（

t

3

）+f（t+1）＜0，求t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据函数为奇函数，利用比较系数法算出n=0，再根据f（-

1

4

）=

8

17

建立关于m的等式解出m=-1，即可得到函数f（x）解析式；
（2）设定义域内的自变量x₁、x₂满足x₁＜x₂，将相应函数值作差变形得f（x₁）-f（x₂）=

(x1-x2)(x1x2-1)

(1+x12)(1+x22)

，讨论符号得出f（x₁）＞f（x₂），从而得出函数f（x）在[

1

2

，

1

2

]上是减函数；
（3）由函数为奇函数化简不等式为f（

t

3

）＜f（-t-1），利用定义域内是减函数转化为-

1

2

＜-t-1＜

t

3

＜

1

2

，解之即可得到出实数t的范围．

解答：解：（1）∵函数f（x）=

mx+n

1+x2

为奇函数，
∴对于定义域内的任意实数x，都有f（-x）=-f（x）
即

-mx+n

1+x2

=-

mx+n

1+x2

，可得-mx+n=-mx-n，得n=0
∴f（x）=

mx

1+x2

∵f（-

1

4

）=

8

17

，∴

- 1 4 m

1+ 1 16

=

8

17

，解之得m=-1
因此，函数f（x）解析式为f（x）=

-x

1+x2

（2）由（1）知，f（x）=

-x

1+x2

，
设x₁、x₂∈[-

1

2

，

1

2

]，且x₁＜x₂，可得
f（x₁）-f（x₂）=

-x1

1+x12

-

-x2

1+x22

=

(x1-x2)(x1x2-1)

(1+x12)(1+x22)

∵x₁-x₂＜0，x₁x₂-1＜0，（1+ x12）（1+ x22）＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，得f（x₁）＞f（x₂）
由此可得函数f（x）在[

1

2

，

1

2

]上是减函数；
（3）∵f（x）在[

1

2

，

1

2

]上是奇函数且是减函数
∴实数t满足f（

t

3

）+f（t+1）＜0，即f（

t

3

）＜-f（t+1）=f（-t-1）
可得-

1

2

＜-t-1＜

t

3

＜

1

2

，解之得-

3

4

＜t＜-

1

2

即得实数t的范围为（-

4

3

，-

1

2

）．

点评：本题给出分式函数为奇函数，求函数的表达式、证明单调性并依此解关于t的不等式，着重考查了函数的奇偶性、单调性的定义及其应用的知识，属于中档题．