Question

7．定义“⊙”是一种运算，对于任意的x，y，都满足x⊙y=$\frac{xy}{2x+{y}^{2}}$，现已知条件2⊙a=b，当a是正数时b取最大值为$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由新定义可得b=2⊙a=$\frac{2a}{4+{a}^{2}}$，a＞0，运用基本不等式即可得到最大值．

解答 解：由x⊙y=$\frac{xy}{2x+{y}^{2}}$，可得
2⊙a=$\frac{2a}{4+{a}^{2}}$，a＞0，
即有b=$\frac{2a}{4+{a}^{2}}$=$\frac{2}{a+\frac{4}{a}}$≤$\frac{2}{2\sqrt{a•\frac{4}{a}}}$=$\frac{1}{2}$，
当且仅当a=$\frac{4}{a}$，即a=2时，b取得最大值$\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查新定义的理解和运用，同时考查基本不等式的运用：求最值，属于中档题．