Question

试证明以下定理：

定理：已知凸四边形ABCD的四边分别为AB＝a，BC＝b，CD＝c，DA＝d，两对角线分别为AC＝m，BD＝n，则cos(A＋C)＝cos(B＋D)＝．

Answer 1

答案：
解析：

证明：如下图，设AC与BD相交于O点， 　　在△ABD中，由余弦定理，得n2＝a2＋d2－2adcosA，① 　　在△BCD中，由余弦定理，得n2＝b2＋c2－2bccosC．② 　　②－①，得adcosA－bccosC＝(a2＋d2－b2－c2)．③ 　　设四边形ABCD的面积为S，则S＝S△ABD＋S△BCD＝adsinA＋bcsinC，④ 　　即2S＝adsinA＋bcsinC． 　　③2＋④2，得(ad)2＋(bc)2－2adbccos(A＋C)＝(a2＋d2－b2－c2)2＋4S2．⑤ 　　在△BOC中，设∠BOC＝α， 　　由余弦定理，得b2＝OB2＋OC2－2OB·OCcosα． 　　在△COD中，有c2＝OC2＋OD2－2OC·ODcos(π－α)； 　　在△DOA中，有d2＝OD2＋OA2－2OD·OAcosα； 　　在△AOB中，有a2＝OA2＋OB2－2OA·OBcos(π－α)． 　　于是有b2－c2＋d2－a2＝－2mncosα， 　　即(b2－c2＋d2－a2)2＝4m2n2cos2α，cos2α＝． 　　而S四边形ABCD＝S△AOB＋S△BOC＋S△COD＋S△DOA＝mnsinα， 　　即4S2＝m2n2sin2α＝m2n2(1－cos2α)＝m2n2[1－]． 　　代入⑤式，有(ad)2＋(bc)2－2adbccos(A＋C) 　　＝(a2＋d2－b2－c2)2＋m2n2－(b2－c2＋d2－a2)2 　　＝m2n2＋(a2＋d2－b2－c2＋b2－c2＋d2－a2)(a2＋d2－b2－c2－b2＋c2－d2＋a2) 　　＝m2n2＋(a2－b2)(d2－c2) 　　＝m2n2＋(ad)2－(bd)2－(ac)2＋(bc)2， 　　即． 　　而A＋B＋C＋D＝2π， 　　∴cos(A＋C)＝cos[2π－(B＋D)]＝cos(B＋D)， 　　即cos(A＋C)＝cos(B＋D)＝．