Question

4．已知数列{a_n}满足：a₁=1，当n∈N^*时，a_2n=a_2n-1+（-2）^n-1，a_2n+1=a_2n+4ⁿ
（1）求a₂，a₃数列{a_n}的通项公式；
（2）记b_n=a_2n+2-a_2n，求证$\frac{1}{{b}_{1}}$+$\frac{1}{{b}_{2}}$+…+$\frac{1}{{b}_{n}}$＜$\frac{3}{5}$．

Answer 1

分析 （1）利用数列的递推关系即可求a₂，a₃数列{a_n}的通项公式；
（2）求出b_n=a_2n+2-a_2n的通项公式，利用裂项法进行求和，即可得到结论．

解答 （1）解：当n=1时，a₂=a₁+（-2）⁰=1+1=2，
a₃=a₂+4=2+4=6，
∵当n∈N^*时，a_2n=a_2n-1+（-2）^n-1，a_2n+1=a_2n+4ⁿ，
∴a_2n+1=a_2n-1+4ⁿ+（-2）^n-1，
∴a_2n+1=（a_2n+1-a_2n-1）+（a_2n-1-a_2n-3）+…+（a₅-a₃）+（a₃-a₁）+a₁
=[4ⁿ+（-2）^n-1]+[4^n-1+（-2）^n-2]+…+[4²+（-2）¹]+[4¹+（-2）⁰]+1
=（4ⁿ+4^n-1+…+4¹）+[（-2）^n-1+（-2）^n-2+…+（-2）¹+（-2）⁰]+1
=$\frac{4（{4}^{n}-1）}{3}$+$\frac{1-（-2）^{n}}{1-（-2）}$+1
=$\frac{1}{3}[{4}^{n+1}-（-2）^{n}]$．
∴当n≥2时，a_2n-1=$\frac{1}{3}[{4}^{n}-（-2）^{n-1}]$，
当n=1时上式也成立，
∴a_2n-1=$\frac{1}{3}[{4}^{n}-（-2）^{n-1}]$．
a_2n=a_2n-1+（-2）^n-1=$\frac{1}{3}[{4}^{n}-（-2）^{n-1}]$+（-2）^n-1=$\frac{1}{3}[{4}^{n}-（-2）^{n}]$．
综上可得：a_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{3}[{2}^{n+1}-（-2）^{\frac{n-1}{2}}]，n为奇数}\\{\frac{1}{3}[{2}^{n}-（-2）^{\frac{n}{2}}]，n为偶数}\end{array}\right.$；
（2）证明：b_n=a_2n+2-a_2n=$\frac{1}{3}[{4}^{n+1}-（-2）^{n+1}]-\frac{1}{3}[{4}^{n}-（-2）^{n}]$=4ⁿ+（-2）ⁿ，
当n为偶数时，$\frac{1}{{b}_{n}}=\frac{1}{{4}^{n}+{2}^{n}}＜\frac{1}{{4}^{n}}$，
当n为奇数时，$\frac{1}{{b}_{n}}=\frac{1}{{4}^{n}-{2}^{n}}=\frac{1}{{2}^{n}（{2}^{n}-1）}$=$\frac{1}{{2}^{n}（{2}^{n-1}+{2}^{n-1}-1）}＜\frac{1}{{2}^{n}•{2}^{n-1}}=\frac{2}{{4}^{n}}$，
∴$\frac{1}{{b}_{1}}$+$\frac{1}{{b}_{3}}+…＜\frac{1}{2}+\frac{\frac{2}{{4}^{3}}}{1-\frac{1}{16}}=\frac{1}{2}+\frac{1}{30}=\frac{8}{15}$，
$\frac{1}{{b}_{2}}+\frac{1}{{b}_{4}}+…＜\frac{\frac{1}{{4}^{2}}}{1-\frac{1}{16}}=\frac{1}{15}$．
∴$\frac{1}{{b}_{1}}$+$\frac{1}{{b}_{2}}$+…+$\frac{1}{{b}_{n}}$＜$\frac{8}{15}+\frac{1}{15}=\frac{9}{15}=\frac{3}{5}$．

点评 本题主要考查数列递推公式的应用以及数列求和的计算，利用裂项法是解决本题的关键，是有一定难度题目．