Question

（2012•葫芦岛模拟）F（-c，0）是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左焦点，P是抛物线y²=4cx上一点，直线FP与圆x²+y²=a²相切于点E，且PE=FE，若双曲线的焦距为2

5

+2，则双曲线的实轴长为（　　）

• A．4
• B．2
• C．

  20+4 5

  5

• D．

  10+2 5

  5

Answer 1

分析：确定∠FPF₂=90°，根据△FEO∽△FPF₂，可得PF₂=2a，过F作x轴的垂线l，过P作PQ⊥l于Q，则PQ=PF₂=2a，利用Rt△FPQ∽Rt△F₂FQ，在Rt△FEO中，利用勾股定理，双曲线的焦距为2

5

+2，建立方程，从而可求双曲线的实轴长．

解答：解：抛物线y²=4cx的焦点F₂（c，0）
∵E为直线FP与以原点为圆心a为半径的圆的切点，PE=EF
∴OE为直线FP的中垂线 （O为原点）
∴OP=OF=c
又FF₂=2c，O为FF₂中点，OP=c
∴∠FPF₂=90°（直角三角形中，直角顶点与斜边中点的连线长度为斜边的一半）
根据△FEO∽△FPF₂，可得

PF2

EO

=

FF2

FO

=

2c

c

=2
∵EO=a，∴PF₂=2a
过F作x轴的垂线l，过P作PQ⊥l于Q，则PQ=PF₂=2a 
又Rt△FPQ∽Rt△F₂FQ，令PF=2x=2EF，∴

QP

PF

=

PF

FF2

，即

2a

2x

=

2x

2c

，即x²=ac=EF²
∴在Rt△FEO中，OF²=EF²+EO²，即c²=ac+a²
∵双曲线的焦距为2

5

+2，
∴a²+（1+

5

）a-（1+

5

）²=0
∴a=

-(1+ 5 )±( 5 +5)

2

∴a₁=2，a₂=-

5

-3 （舍）
∴实轴长为4
故选A．

点评：本题考查圆锥曲线的综合，考查双曲线的几何性质，考查学生分析解决问题的能力，综合性强．