Question

(09 年石景山区统一测试)（14分）

已知双曲线的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，过其右焦点且倾斜角为的

直线被双曲线截得的弦的长为．

   （Ⅰ）求此双曲线的方程；

   （Ⅱ）若直线：与该双曲线交于两个不同点、，且以线段为直径

　　   　的圆过原点，求定点到直线的距离的最大值，并求此时直线的方程．

Answer 1

解析：（Ⅰ）设双曲线的方程是（，），

则由于离心率，所以，．

从而双曲线的方程为，且其右焦点为（，0）．

把直线的方程代入双曲线的方程，消去并整理，得

．

设，，则，．

由弦长公式，得=6．

    所以，．

　　从而双曲线的方程是．                          ………………5分

（Ⅱ）由和，消去，得．

     根据条件，得且.

　　 ∴ .

设，，则，.

由于以线段为直径的圆过原点，所以.

即 .

从而有，即. …………8分

∴ 点到直线：的距离为:

   .                  ………………10分

由 ≥，解得 且．

由 ，解得 .

所以当时，取最大值，此时.

因此的最大值为，此时直线的方程是.     ………………14分