Question

设定义在R上的函数f（x）=a₀x⁴+a₁x³+a₂x²+a₃x+a₄（a₀，a₁，a₂，a₃，a₄∈R），当x=-1时f（x）取得极大值

2

3

，且函数y=f（x+1）的图象关于点（-1，0）对称．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）试在函数y=f（x）的图象上求两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间[-

2

，

2

]上．

Answer 1

（1）将函数y=f（x+1）的图象向右平移一个单位，得到函数y=f（x）的图象，
∴函数y=f（x）的图象关于点（0，0）对称，即函数y=f（x）是奇函数，
∴f（x）=a₁x³+a₃x
∴f^′（x）=3a₁x²+a₃
由题意得：

f′(-1)=3a1+a3=0 f (-1)=-a1-a3= 2 3

所以

a1= 1 3 a3=-1

，f(x)=

1

3

x3-x经检验满足题意
（2）由（1）可得f^′（x）=x²-1
故设所求两点为(x1，f(x1))，(x2，f(x2))(x1，x2∈ [-

2

，

2

])
f^′（x₁）•f^′（x₂）=（x₁²-1）（x₂²-1）=-1
∵x₁²-1，x₂²-1∈[-1，1]
∴

x 22 -1=-1 x 21 -1=-1

或

x 21 -1=1 x 22 -1=-1

x1= 0 x2=± 2

或

x1=± 2 x2= 0

∴满足条件的两点的坐标为：
（0，0），(

2

，-

2

3

)或(0，0)  ，(-

2

，-

2

3

)