Question

20．设函数f（x）=-x²+ax+2（x²-x）lnx．
（Ⅰ）当a=2时，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若x∈（0，+∞）时，f（x）+x²＞0恒成立，求整数a的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数f（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（Ⅱ）问题转化为a＞-2（x-1）lnx恒成立，令g（x）=-2（x-1）lnx，根据函数的单调性求出a的最小值即可．

解答 解：（Ⅰ）由题意可得f（x）的定义域为（0，+∞），
当a=2时，f（x）=-x²+2x+2（x²-x）lnx，
所以$f'（x）=-2x+2+2（2x-1）lnx+2（{x^2}-x）•\frac{1}{x}$=（4x-2）lnx，
由f'（x）＞0可得：（4x-2）lnx＞0，
所以$\left\{\begin{array}{l}4x-2＞0\\ lnx＞0\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}4x-2＜0\\ lnx＜0.\end{array}\right.$，
解得x＞1或$0＜x＜\frac{1}{2}$；
由f'（x）＜0可得：（4x-2）lnx＜0，
所以$\left\{\begin{array}{l}4x-2＞0\\ lnx＜0\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}4x-2＜0\\ lnx＞0\end{array}\right.$，
解得$\frac{1}{2}＜x＜1$．
综上可知：f（x）递增区间为$（0，\frac{1}{2}）$，（1，+∞），递减区间为$（\frac{1}{2}，1）$．
（Ⅱ）若x∈（0，+∞）时，f（x）+x²＞0恒成立，
则ax+2（x²-x）lnx＞0恒成立，
因为x＞0，所以a+2（x-1）lnx＞0恒成立，
即a＞-2（x-1）lnx恒成立，
令g（x）=-2（x-1）lnx，则a＞g（x）_max．
因为$g'（x）=-2（lnx+\frac{x-1}{x}）=-2lnx-2+\frac{2}{x}$，
所以g'（x）在（0，+∞）上是减函数，且g'（1）=0，
所以g（x）在（0，1）上为增函数，在（1，+∞）上是减函数，
∴x=1时，g（x）_max=0，
∴a＞0，又因为a∈Z，所以a_min=1．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想、转化思想，是一道中档题．