Question

已知函数f（x）=kx²+（3+k）x+3，其中k为常数，（k∈R）
（1）若函数f（x）满足f（2）=3，
①求函数f（x）在[-1，4]上的最大值和最小值；
②若f（x）＜mx+7对任意x∈R上恒成立，求实数m的取值范围；
（2）当k≥0时，讨论函数f（x）在区间[-1，4]上的单调性．

Answer 1

考点：函数最值的应用,函数与方程的综合运用

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：（1）①确定函数解析式，利用配方法，即可函数f（x）在[-1，4]上的最大值和最小值；
②x²+（m+2）x+4＞0对任意x∈R上恒成立，可得实数m的取值范围；
（2）分类讨论，结合函数的对称轴，即可讨论函数f（x）在区间[-1，4]上的单调性．

解答： 解：（1）由f（2）=4k+（3+k）×2+3=3，解得k=-1，∴f（x）=-x²+2x+3（2分）
①f（x）=-x²+2x+3=-（x-1）²+4（3分）（如果求对称轴也给1分）
∵x∈[-1，4]
所以当x=1时，f（x）取得最大值为f（1）=4（4分）
当x=4时，f（x）取得最小值为f（4）=-5（5分）
②由f（x）＜mx+7对任意x∈R上恒成立，
即x²+（m+2）x+4＞0对任意x∈R上恒成立，（6分）
所以△=（m+2）²-16＜0，解得-2＜m＜6（8分）
（2）当k=0时，f（x）=3x+3，此时f（x）在[-1，4]上是增函数  （9分）
当k＞0时，f（x）图象是开口向上，对称轴方程为x=-

3+k

2k

的抛物线，
显然-

3+k

2k

＜0（10分）
①当-

3+k

2k

≤-1时，即0＜k≤3时，函数f（x）在[-1，4]上是增函数  （11分）
②当-

3+k

2k

＞-1时，即k＞3时，函数f（x）在[-1，-

3+k

2k

]上是减函数，在(-

3+k

2k

，4]上是增函数 （13分）
综上，当k≥0时，函数f（x）在[-1，4]上是增函数；当k＞3时，函数f（x）在[-1，-

3+k

2k

]上是减函数，在(-

3+k

2k

，4]上是增函数  （14分）

点评：本题考查函数的单调性与最值，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于中档题．