Question

设圆C与两圆（x+）²+y²=4，（x﹣）²+y²=4中的一个内切，另一个外切．
（1）求C的圆心轨迹L的方程；
（2）已知点M（，），F（，0），且P为L上动点，求||MP|﹣|FP||的最大值及此时点P的坐标．

Answer 1

解：（1）两圆的半径都为2，两圆心为F₁（﹣，0）、F₂（，0），
由题意得：|CF₁|+2=|CF₂|﹣2或|CF₂|+2=|CF₁|﹣2，
∴||CF₂|﹣|CF₁||=4=2a＜|F₁F₂|=2=2c，
可知圆心C的轨迹是以原点为中心，焦点在x轴上，且实轴为4，焦距为2的双曲线，
因此a=2，c=，则b²=c²﹣a²=1，
所以轨迹L的方程为﹣y²=1；
（2）过点M，F的直线l的方程为y=（x﹣），
即y=﹣2（x﹣），代入﹣y²=1，
解得：x₁=，x₂=，
故直线l与双曲线L的交点为T₁（，﹣），T₂（，），
因此T₁在线段MF外，T₂在线段MF内，
故||MT₁|﹣|FT₁||=|MF|==2，
||MT₂|﹣|FT₂||＜|MF|=2，
若点P不在MF上，则|MP|﹣|FP|＜|MF|=2，
综上所述，|MP|﹣|FP|只在点T₁处取得最大值2，此时点P的坐标为（，﹣）．