Question

双曲线

y2

b2

-

x2

a2

=1(a，b＞0)的一条渐近线与椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)交于点M、N，则|MN|=（　　）

• A、

  2(a2-b2)

• B、

  2(a2+b2)

• C、

  2

  a
• D、a+b

Answer 1

分析：求出双曲线的渐近线方程，将渐近线方程与椭圆的方程联立，求出两个交点的坐标；利用两点的距离公式求出|MN|．

解答：解：双曲线的渐近线的方程为y=±

b

a

x，不妨取y=

b

a

x
由

x2 a2 + y2 b2 =1(a＞b＞0) y= b a x

消去y得
2x²=a²
解得x=±

2

2

a代入渐近线方程得M，N两点的坐标分别为：
(

2

2

a，

2

2

b)；(-

2

2

a，-

2

2

b)
所以|MN|=

( 2 a)2+( 2 b)2

=

2(a2+b2)

．
故选B

点评：本题考查双曲线的渐近线方程与双曲线的焦点位置有关、考查解决直线与圆锥曲线的位置关系问题，常将直线方程与圆锥曲线方程联立．