Question

16．已知向量$\overrightarrow a$、$\overrightarrow b$满足|$\overrightarrowa}$|=2，|$\overrightarrow b}$|=3，且|2$\overrightarrow a}$-$\overrightarrow b}$|=$\sqrt{13}$，则|2$\overrightarrow a}$+$\overrightarrow b}$|=$\sqrt{37}$向量$\overrightarrow a$在向量$\overrightarrow b$方向上的投影为1．

Answer 1

分析 首先由已知将|2$\overrightarrow a}$-$\overrightarrow b}$|=$\sqrt{13}$平方，求出向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$的数量积，可求|2$\overrightarrow a}$+$\overrightarrow b}$|以及向量$\overrightarrow a$在向量$\overrightarrow b$方向上的投影．

解答 解：因为向量$\overrightarrow a$、$\overrightarrow b$满足|$\overrightarrowa}$|=2，|$\overrightarrow b}$|=3，且|2$\overrightarrow a}$-$\overrightarrow b}$|=$\sqrt{13}$，
所以|2$\overrightarrow a}$-$\overrightarrow b}$|²=13，展开得$4{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}-4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=13$，所以$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=3，
所以向量$\overrightarrow a$在向量$\overrightarrow b$方向上的投影为$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}=\frac{3}{3}$=1；
则|2$\overrightarrow a}$+$\overrightarrow b}$|²=$4{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}+4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=16+9+12=37，所以则|2$\overrightarrow a}$+$\overrightarrow b}$|=$\sqrt{37}$；
故答案为：$\sqrt{37}$；1．

点评 本题考查了平面向量的数量积公式的运用以及一个向量在另一个向量的投影求法；经常考查，注意掌握．