Question

8．如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，E，F分别为BB₁，AC的中点．
（1）求证：BF∥平面A₁EC；
（2）求证：平面A₁EC⊥平面ACC₁A₁．
（3）若各棱长相等，求二面角E-AC-B正切值．

Answer 1

分析 （1）连接A₁C与AC₁交于点O，连接OF，由已知推导出四边形BEOF是平行四边形，由此能证明BF∥平面A₁EC．
（2）由已知条件推导出BF⊥AC，OE⊥AC，AA₁⊥BF，OE⊥AA₁，从而OE⊥平面A₁EC，由此能证明平面A₁EC⊥平面AA₁C₁C．
（3）连结AE，BF，由已知得到∠BFE是二面角的平面角，由此能求出二面角E-AC-B正切值．

解答 （1）证明：连接A₁C与AC₁交于点O，连接OF，
∵F为AC的中点，∴OF∥C₁C，且OF=$\frac{1}{2}$C₁C，
∵E为BB₁的中点，∴BE∥C₁C，且BE=$\frac{1}{2}$C₁C，
∴BE∥OF且BE=OF，∴四边形BEOF是平行四边形，
∴BF∥OE，∵BF在平面A₁EC外，OE?平面A₁EC，
∴BF∥平面A₁EC．
（2）证明：∵AB=CB，F为AC的中点，∴BF⊥AC，
由（1）知BF∥OE，∴OE⊥AC，
∵AA₁⊥底面ABC，BF?底面ABC，∴AA₁⊥BF，
∵BF∥OE，∴OE⊥AA₁，
∵AA₁∩AC=A，∴OE⊥平面A₁EC
∵OE?面A₁EC，∴平面A₁EC⊥平面AA₁C₁C．
（3）解：连结AE，BF，
设各棱长为2，由已知得BF=$\sqrt{4-1}$=$\sqrt{3}$，BE=1，AE=CE，
∴EF⊥AC，BF⊥AC，
∴∠BFE是二面角的平面角，
tan∠BFE=$\frac{BE}{BF}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴二面角E-AC-B正切值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查直线与平面平行的证明，考查平面与平面垂直的证明，考查二面角的正切值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．