Question

已知△ABC中，

AB

=

c

，

BC

=

a

、

CA

=

b

，若

a

•

b

=

b

•

c

，且

c

•

b

+

c

2=0，则△ABC的形状是

等腰直角三角形

．

Answer 1

分析：由

a

•

b

=

b

•

c

，利用两个向量的数量积的定义可得|

a

|•cosC=|

c

|cosA，再由余弦定理可得a=c，故三角形为等腰三角形．再由

c

•

b

+

c

2=0 可得，

c

⊥

a

，△ABC也是直角三角形，综合可得结论．

解答：解：∵△ABC中，

AB

=

c

，

BC

=

a

、

CA

=

b

，又∵

a

•

b

=

b

•

c

，
∴|

a

|•|

b

|•cos（π-C）=|

b

|•|

c

|•cos（π-A），化简可得|

a

|•cosC=|

c

|cosA．
设△ABC的三边分别为a、b、c，再把余弦定理代入可得a•

a2+b2-c2

2ab

=c•

c2+b2-a2

2bc

．
化简可得 a²=c²，a=c，故三角形为等腰三角形．
再由

c

•

b

+

c

2=0 可得

b

•（

c

+

b

）=

c

•（-

a

）=0，∴

c

•

a

=0，∴

c

⊥

a

．
即 B=90°，∴△ABC也是直角三角形．
故答案为 等腰直角三角形．

点评：本题主要考查两个向量的数量积的运算，两个向量垂直的条件，判断三角形的形状的方法，注意两个向量的
夹角的值，属于中档题．