Question

已知函数f（x）=ln（1+x）+aln（1-x）．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）当a=-1时，判断f（x）的奇偶性，并证明；
（3）当函数f（x）是偶函数时，求a的值．

Answer 1

分析：（1）由函数的解析式可得

1+x＞0 1-x＞0

，由此求得x的范围，可得函数的定义域．
（2）当a=-1时，f（x）=ln

1+x

1-x

，由于f（-x）=-f（x），可得函数f（x）为奇函数．
（3）当函数为偶函数时，有f（-x）=f（x），化简可得ln

1-x

1+x

=aln

1-x

1+x

，由此求得a的值．

解答：解：（1）∵函数f（x）=ln（1+x）+aln（1-x），
∴

1+x＞0 1-x＞0

．
解得-1＜x＜1，故函数的定义域为（-1，1）．
（2）当a=-1时，f（x）=ln（1+x）-ln（1-x）=ln

1+x

1-x

，
由于f（-x）=ln

1-x

1+x

=-ln

1+x

1-x

=-f（x），
故函数f（x）为奇函数．
（3）当函数为偶函数时，有f（-x）=f（x），
即 ln（1-x）+aln（1+x）=ln（1+x）+aln（1-x），
即ln

1-x

1+x

=aln

1-x

1+x

，
故有a=1．

点评：本题主要考查求函数的定义域以及函数的奇偶性的判断，属于中档题．