Question

9．如图AB是圆O的直径，过B作圆O的切线交弦AD的延长线于点P，M为AD上一点，且PB=PM=6，PD=4，连接BM并延长交圆O于点C，连接OC交AD于点N，则CN=$\frac{{\sqrt{5}}}{2}$．

Answer 1

分析 先证明∠MNC=90°，即OC⊥AD，再计算AB，AD，即可得出结论．

解答 解：由题意，∠PBM=∠PMB=∠CMN，∠OCB=∠OBC，
因为AB是圆O的直径，过B作圆O的切线交弦AD的延长线于点P，
所以∠ABP=90°，
所以∠MNC=90°，即OC⊥AD
因为PB=PM=6，PD=4，
所以6²=4PA
所以PA=9，
所以AB=3$\sqrt{5}$，AD=5，
所以ON=$\frac{1}{2}\sqrt{45-25}$=$\sqrt{5}$，
所以CN=$\frac{3}{2}\sqrt{5}-\sqrt{5}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题考查圆的切线的性质，考查切割线定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．