Question

设函数α，β∈[-

π

2

，

π

2

]，且αsinα-βsinβ＞0，则下列不等式必定成立的是（　　）

A．α＞β

B．α＜β

C．α+β＞0

D．α²＞β²

Answer 1

分析：构造函数f（x）=xsinx，x∈[-

π

2

，

π

2

]，利用奇偶函数的定义可判断其奇偶性，利用f′（x）=sinx+xcosx可判断f（x）=xsinx，x∈[0，

π

2

]与x∈[-

π

2

，0]上的单调性，从而可选出正确答案．

解答：解：令f（x）=xsinx，x∈[-

π

2

，

π

2

]，
∵f（-x）=-x•sin（-x）=x•sinx=f（x），
∴f（x）=xsinx，x∈[-

π

2

，

π

2

]为偶函数．
又f′（x）=sinx+xcosx，
∴当x∈[0，

π

2

]，f′（x）＞0，即f（x）=xsinx在x∈[0，

π

2

]单调递增；
同理可证偶函数f（x）=xsinx在x∈[-

π

2

，0]单调递减；
∴当0≤|β|＜|α|≤

π

2

时，f（α）＞f（β），即αsinα-βsinβ＞0，反之也成立；
故选D．

点评：本题考查正弦函数的单调性，难点在于构造函数f（x）=xsinx，x∈[-

π

2

，

π

2

]，通过研究函数f（x）=xsinx，的奇偶性与单调性解决问题，属于难题．