Question

在如图所示的几何体中，EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AC⊥BC，且AC=BC=BD=2AE，M是AB的中点．
（1）求证：CM⊥EM；
（2）求直线DE与平面CEM所成角的正切值．

Answer 1

分析：（1）利用线面垂直的判定定理，证明CM⊥平面EAB，即可得到结论；
（2）连结MD，证明∠DEM是直线DE和平面CEM所成的角，即可求得结论．

解答：（1）证明：因为AC=BC，M是AB的中点，
所以CM⊥AB．   …（2分）
又EA⊥平面ABC，
所以CM⊥EA     …（4分）
因为AB∩EA=A
所以CM⊥平面EAB．
所以CM⊥EM．   …（7分）
（2）解：连结MD，
设EA=a，BD=BC=AC=2a，
在直角梯形ABDE中，AB=2

2

a，M是AB的中点，
所以DE=3a，EM=

3

a，DM=

6

a，得△DEM是直角三角形，其中DM⊥EM，…（10分）
又因为DM⊥CM，EM∩CM=M，
所以DM⊥平面CEM
所以∠DEM是直线DE和平面CEM所成的角．…（12分）
在Rt△DEM中，tan∠DEM=

DM

EM

=

6 a

3 a

=

2

，
故直线DE与平面CEM所成角的正切值为

2

．…（14分）

点评：本题考查线面垂直，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题．