Question

如图所示的曲线是函数f（x）=x³+bx²+cx+d的大致图象，则x₁²+x₂²等于（　　）

• A、

  8

  9

• B、

  10

  9

  x₂
• C、

  16

  9

• D、

  5

  4

Answer 1

分析：由图象知f（-1）=f（0）=f（2）=0，解出 b、c、d的值，由x₁和x₂是f^′ （x）=0的根，使用根与系数的关系得到x₁+x₂=

2

3

，x₁•x₂=-

2

3

，则由x₁²+x₂² =（x₁+x₂）²-2x₁•x₂ 代入可求得结果．

解答：解：∵f（x）=x³+bx²+cx+d，由图象知，-1+b-c+d=0，0+0+0+d=0，
 8+4b+2c+d=0，∴d=0，b=-1，c=-2
∴f^′ （x）=3x²+2bx+c=3x²-2x-2． 由题意有  x₁ 和 x₂ 是函数f（x）的极值，
故有 x₁ 和 x₂ 是 f^′ （x）=0的根，∴x₁+x₂=

2

3

，x₁•x₂=-

2

3

．
则x₁²+x₂² =（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=

4

9

+

4

3

=

16

9

，
故选C．

点评：本题考查一元二次方程根的分布，根与系数的关系，函数在某点取的极值的条件，以及求函数的导数．