Question

过椭圆的右焦点F作斜率为k（k＞0）的直线l与椭圆交于A、B两点，且坐标原点O到直线l的距离d满足：
（I）证明点A和点B分别在第一、三象限；
（II）若的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（I）设直线方程为y=k（x-2），由及k＞0，可知设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则A、B坐标是方程组的解，
消去y得（1+3k²）x²-12k²x+12k²-6=0，再由根与系数的关系可以判断出A、B分别在第一、三象限．
（II）由，能够推导出k的取值范围．
解答：解：（I）由已知，，直线方程为y=k（x-2），由及k＞0，得，解这个不等式，得
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则A、B坐标是方程组的解，
消去y得（1+3k²）x²-12k²x+12k²-6=0，则，
y₁y₂=k（x₁-2）•k（x₂-2）=k²[x₁x₂-2（x₁+x₂）+4]
=，
∵，
不妨设x₁＜0，则x₂＞0，此时y₁=k（x₁-2）＜0，于是y₂＞0，
A、B分别在第一、三象限．
（II）由，
注意到所以k的取值范围是
点评：本题综合考查直线和椭圆的位置关系，解题时要认真审题，注意公式的灵活运用．