Question

已知函数满足f（-1）=0，且对任意x＞0都有．
（1）求f（1）的值；
（2）求a，b，c的值；
（3）若在（0，2]上是减函数，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）对赋值x=1，则可求；
（2）由f（-1）=0，f（1）=1，建立方程组，再借助于对任意x＞0都有，从而问题得解；
（3）利用单调性的定义，设0＜x₁＜x₂≤2可有，从而1-m＞x₁x₂恒成立，而0＜x₁x₂＜4，所以1-m≥4，故可求实数m的取值范围．
解答：解：（1）由，令x=1，得1≤f（x）≤1，∴f（1）=1．
（2）由f（-1）=0，f（1）=1，得．
当x≥0时，
①②
由①式a≤0显然不成立，∴a＞0，∵Q（x）=2ax²-x+（1-2a）的图象的对称轴为，
∴△=1-8a（1-2a）≤0，即（4a-1）²≤0，∴，
从而，而此时②式为（x-1）²≥0，∴．
（3），设0＜x₁＜x₂≤2，则，∵x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，
∴x₁x₂-（1-m）＜0，即1-m＞x₁x₂恒成立，而0＜x₁x₂＜4，∴1-m≥4，
∴m≤-3．
点评：本题主要考查函数解析式的求解，考查恒成立的处理，采用了赋值法，属于中档题．