Question

已知tan(α+

π

4

)=

1

3

．
（Ⅰ）求tanα的值；
（Ⅱ）求2sin2α-sin(π-α)sin(

π

2

-α)+sin2(

3π

2

+α)的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 利用两角和的正切公式展开，解方程求得 tanα=-

1

2

．
（Ⅱ） 利用诱导公式及1的代换，把要求的式子花为

2tan2α-tanα+1

tan2α+1

，把 tanα=-

1

2

 代入运算．

解答：解：（Ⅰ）∵tan(α+

π

4

)=

tanα+1

1-tanα

=

1

3

，∴tanα=-

1

2

．
（Ⅱ）原式=2sin²α-sinαcosα+cos²α
=

2sin2α-sinαcosα+cos2α

sin2α+cos2α

=

2tan2α-tanα+1

tan2α+1

=

2×(- 1 2 )2-(- 1 2 )+1

(- 1 2 )2+1

=

8

5

．

点评：本题考查两角和差的三角公式的应用，同角三角函数的基本关系，以及诱导公式的应用．利用1的代换，把2sin²α-sinαcosα+cos²α 化为

2sin2α-sinαcosα+cos2α

sin2α+cos2α

 是解题的难点，