Question

如图，四边形ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，M为PA的中点．
（Ⅰ）求证：PC∥平面BDM；
（Ⅱ）求证：平面BMD⊥平面PAC；
（III）若PA=AC=

2

，BD=2

3

，求三棱锥M-ABD的体积．

Answer 1

分析：（I）欲证PC∥平面MBD，根据线面平行的判定定理可知只需在平面QBD内找一直线与之平行，设AC∩BD=O，连OM，易证OM∥PC；
（II）欲证平面MBD⊥平面PAC，根据线面垂直的判定定理可知只需证BD⊥平面PAC，而易证BD⊥AC与PA⊥BD．

解答：解：（Ⅰ）设AC与BD的交点为O，连接OM．
因为ABCD是菱形，则O为AC中点．
又M为PA的中点，所以OM∥PC
因为OM在平面BDM内，所以PC∥平面BDM．
（Ⅱ）因为ABCD是菱形，则BD⊥AC．
又PA⊥平面ABCD，则PA⊥BD．
所以BD⊥平面PAC．
∴平面BMD⊥平面PAC．
（III）∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴S_△ABD=

1

2

×2

3

×

2

2

=

6

2

．
∵PA⊥平面ABCD，∴MA为三棱锥M-ABD的高，MA=

2

2

，
∴三棱锥M-ABD的体积V=

1

3

×

6

2

×

2

2

=

3

6

．

点评：本题考查了线面平行的证明，考查了面面垂直的证明，求三棱锥的体积，考查了空间想象能力与推理论证能力．