Question

已知a＞0，f（x）=ax²-2x+1+ln（x+1），l是曲线y=f（x）在点P（0，f（0））处的切线．
（1）求切线l的方程；
（2）若切线l与曲线y=f（x）有且只有一个公共点，求a的值．

Answer 1

分析：（1）根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=0处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，化成斜截式即可．
（2）将切线l与曲线y=f（x）有且只有一个公共点等价于方程ax²-2x+1+ln（x+1）=-x+1即ax²-x+ln（x+1）=0有且只有一个实数解．
令h（x）=ax²-x+ln（x+1），求出h'（x），然后讨论a与

1

2

的大小，研究函数的单调性，求出满足使方程h（x）=0有一解x=0的a的取值范围即可．

解答：解：（1）∵f（x）=ax²-2x+1+ln（x+1）∴f（0）=1
∴f'（x）=

2ax2+(2a-2)x-1

x+1

∴f′（0）=-1
切点p（0，1），切线l的斜率为-1∴切线l的方程：y=-x+1；
（2）切线l与曲线y=f（x）有且只有一个公共点等价于方程
ax²-2x+1+ln（x+1）=-x+1即ax²-x+ln（x+1）=0有且只有一个实数解．
令h（x）=ax²-x+ln（x+1），∵h（0）=0
∴方程h（x）=0有一解x=0
h'（x）=2ax-1+

1

x+1

=

2ax2+(2a-1)x

x+1

=

2ax[x-( 1 2a -1)]

x+1

①若a=

1

2

，则h'（x）=

x2

x+1

≥0（x＞-1），
∴h（x）在（-1，+∞）上单调递增，
∴x=0是方程h（x）=0的唯一解；
②若0＜a＜

1

2

，则h′（x）=0两根x₁=0，x₂=

1

2a

-1＞0

∴h(

1

2a

-1)＜h（0）=0，而h(

1

a

)＞0
∴方程h（x）=0在(

1

2a

-1，+∞)
上还有一解，则h（x）=0解不唯一；
③若a＞

1

2

，则h′（x）=0两根x₁=0，x₂=

1

2a

-1∈（-1，0）
同理可得方程h（x）=0在(-1，

1

2a

-1)上还有一解，
则h（x）=0解不唯一
综上，当切线l与曲线y=f（x）有且只有一个公共点时，a=

1

2

．

点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及利用导数研究函数的单调性，同时考查了转化与划归的思想，以及计算能力，属于中档题，综合题．