题目内容

已知椭圆 $数学公式$ 与x轴交于A、B两点，焦点为F₁、F₂．
（1）求以F₁、F₂为顶点，以A、B为焦点的双曲线E的方程；
（2）M为双曲线E上一点，y轴上一点P $数学公式$ ，求|MP|取最小值时M点的坐标．

解：（1）设双曲线方程为 $\text{[math]}$
则a²=7 b²=16∴b²=9…（3分）
所求双曲线方程： $\text{[math]}$ …（6分）
（2）设M（x，y），
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ …（9分）
当y=3时，|MP|²最小，|MP|最小．
代入方程得， $\text{[math]}$ …（12分）
分析：（1）通过双曲线方程求出焦点坐标与顶点，即可求出以F₁、F₂为顶点，以A、B为焦点的双曲线E的方程；
（2）设出M坐标，直接利用两点间的距离公式求出|MP|的表达式，代入双曲线方程，直接利用二次函数求出表达式取得最小值时M点的坐标．
点评：本题是中档题，考查双曲线方程的应用，双曲线才的求法，二次函数最值的求法，考查计算能力，转化思想的应用．

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（1）求以F₁、F₂为顶点，以A、B为焦点的双曲线E的方程；
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)，求|MP|取最小值时M点的坐标．

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与x轴交于A、B两点，焦点为F₁、F₂．
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，求|MP|取最小值时M点的坐标．

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