题目内容

数列{an}满足
（1）对任意n∈N+，an∈{t|t=cos
mπ
2
，m∈Z}；
（2）数列{an}前2009项和为-99．
（3）数列{（an+1）2}前2009项和为2010．则{an}前2009项中，取值为-1的项有（　　）
分析：根据条件（1）可知an∈{1，0，-1}，an2=0，1，根据（2）和（3）数列{an}前2009项和为-99，数列{（an+1）2}前2009项和为2010，利用完全平方公式展开，整体代换，即可求得{an}前2009项中，取值为-1的项的个数．
解答：解：∵对任意n∈N+，an∈{t|t=cos
mπ
2
，m∈Z}，
∴an∈{1，0，-1}，an2=0，1
∵数列{an}前2009项和为-99，即a1+a2+a3+…+a2009=-99，
数列{（an+1）2}前2009项和为2010，即（a1+1）2+（a2+1）2+（a3+1）2+…+（a2009+1）2
=a12+a22+a32+…+a20092+2（a1+a2+a3+…+a2009）+2009=2010，
∴a12+a22+a32+…+a20092=199，②
由①②知{an}前2009项中，取值为-1的项149个．
故选C．
点评：考查数列的应用即数列的求和问题，题目与三角函数结合，命题形式新颖，同时考查了三角函数的周期性和特殊角的三角函数值，在计算过程中注意整体代换，属中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知二次函数f（x）=ax2+bx的图象过点（-4n，0），f′（x）是f（x）的导函数，且f′（0）=2n，（n∈N*）．
（1）求a的值；
（2）若数列{an}满足
1
an+1
=f′(
1
an
)，且a1=4，求数列{an}的通项公式；
（3）对于（II）中的数列{an}，求证：a1+a2+a3+…+ak＜5（k=1，2，3…）．
已知数列{bn}的前n项和为Sn，b1=1且点（n，Sn+n+2）在函数f（x）=log2x-1的反函数y=f-1（x）的图象上．若数列{an}满足a1=1，an=bn(
1
b1
+
1
b2
+…+
1
bn-1
) (n≥2，n∈N*)．
（Ⅰ）求bn；
（Ⅱ）求证：
an+1
an+1
=
bn
bn+1
(n≥2，n∈N*)；
（Ⅲ）求证：(1+
1
a1
)(1+
1
a2
)(1+
1
a3
)•…•(1+
1
an
)＜
10
3
．
若正项数列{an} 满足
a
2
n+1
=
a
2
n
+2，且a25=7，则a1=（　　）
对于数列{an}满足a1=1，
a2k
a2k-1
=2，
a2k+1
a2k
=3(k∈N+)，则其前100项的和S100=
3
5
(650-1)
3
5
(650-1)
．
（2011•广东三模）（Ⅰ）设数列{an}满足a1=1，an+1=an2+5，n=1，2，3，…，证明对所有的n≥1，有
（i）an+1＞4an+1；
（ii）
1
1+3a1
+
1
1+3a2
+…+
1
1+3an
＜
1
3
．
（Ⅱ）设数列{an}满足a1=1，an+1＞an2+5，n=1，2，3，…．
证明对所有的n＞2011，有
an+2011
＞a2n-2011．

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