Question

如图，是半径为a的半圆，AC为直径，点E为的中点，点B和点C为线段AD的三等分点，平面AEC外一点F满足FB=FD=a，FE=a，
(Ⅰ)证明：EB⊥FD；
(Ⅱ)已知点Q，R分别为线段FE，FB上的点，使得FQ=FE，FR=FB，求平面BED与平面RQD所成二面角的正弦值。

Answer 1

(Ⅰ)证明：∵E为的中点，AB=BC，AC为直径， ∴EB⊥AD， ， ∴EB⊥FB， 又∵BF∩BD=B， ∴EB⊥平面BDF， ∵FD平面BDF， ∴EB⊥FD；
(Ⅱ)解：过D作HD∥QR， ， ∴QR∥EB，∴HD∥EB， 又∵D∈平面BED∩平面RQD， ∴HD为平面BED与平面RQD的交线， ∵BD，RD平面BDF，EB⊥平面BDF， ∴HD⊥BD，HD⊥RD， ∴∠RDB为平面BED与平面RQD所成二面角的平面角， ∵FB=FD，BC=CD， ∴FC⊥BD， ∴， ∴， ∴ ， ∴。