题目内容
11．设x1，x2是方程x2-mx+（m-2）2=0的两个实数根．求|x1-x2|的取值范围．分析 由△≥0求出m的范围，利用根与系数的关系得出|x1-x2|2的关系，进而得出|x1-x2|的范围．
解答 解∵方程x2-mx+（m-2）2=0有两个实数根，∴△=m2-4（m-2）2≥0，解得$\frac{4}{3}$≤m≤4．
∵x1+x2=m，x1x2=（m-2）2，∴|x1-x2|2=（x1+x2）2-4x1x2=m2-4（m-2）2=-3m2+16m-16=-3（m-$\frac{8}{3}$）2+$\frac{16}{3}$．
∵$\frac{4}{3}$≤m≤4，∴当m=$\frac{8}{3}$时，|x1-x2|2取得最大值$\frac{16}{3}$，当m=4时，|x1-x2|2取得最小值0．
∴0≤|x1-x2|2≤$\frac{16}{3}$．∴0≤|x1-x2|≤$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
∴|x1-x2|的取值范围时[0，$\frac{4\sqrt{3}}{3}$]．
点评 本题考查了二次函数的根的个数与系数的关系，根与系数的关系，一元二次函数的最值，属于中档题．
练习册系列答案
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