题目内容

已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，其中BC=2AB=2PA=6，M，N为侧棱PC上的两个三等分点，如图所示，
(Ⅰ)求证：AN∥平面MBD；
(Ⅱ)求异面直线AN与PD所成角的余弦值；
(Ⅲ)求二面角M-BD-C的余弦值。

(Ⅰ)证明：连接AC交BD于O，连接OM，
∵底面ABCD为矩形，
∴O为AC中点， 
∵M，N为侧棱PC的三等分点，
∴CN= MN，∴OM∥AN， 
∵OM平面MBD，AN平面MBD，
∴AN∥平面MBD。

(Ⅱ)解：如图所示，以A为原点，建立空间直角坐标系A-xyz，
则A(0，0，0)，B(3，0，0)，C(3，6，0)，D(0，6，0)，
P(0，0，3)，M(2，4，1)，N(1，2，2)，
，
∴，
∴异面直线AN与PD所成角的余弦值为。
(Ⅲ)解：∵侧棱PA ⊥底面ABCD，
∴平面BCD的一个法向量为=(0，0，3)，
设平面MBD的一个法向量为m=(x，y，z)，
 ，并且，
∴，
令y=1，得x=2，x= -2，
∴平面MBD 的一个法刚量为m=(2，1，-2)，
∴，
由图可知二面角M- BD-C的大小是锐角，
二面角M-BD-C大小的余弦值为。
练习册系列答案
相关题目
精英家教网如图，已知四棱锥P--ABC的底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，e为PC的中点，F为AD的中点．
（Ⅰ）证明EF∥平面PAB；
（Ⅱ）证明EF⊥平面PBC；
（III）点M是四边形ABCD内的一动点，PM与平面ABCD所成的角始终为45°，求动直线PM所形成的曲面与平面ABCD、平面PAB、平面PAD所围成几何体的体积．
精英家教网如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=2CD=2，PB=PC，侧面PBC⊥底面ABCD，O是BC的中点．
（1）求证：PO⊥平面ABCD；
（2）求证：PA⊥BD
（3）若二面角D-PA-O的余弦值为
10
5
，求PB的长．
已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，E为BC中点，AE与BD交于O点，AB=BC=2CD=2，BD⊥PE．
（1）求证：平面PAE⊥平面ABCD； 
（2）若直线PA与平面ABCD所成角的正切值为
5
2
，PO=2，求四棱锥P-ABCD的体积．
如图，已知四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，∠DAB=∠ABC=90°，E是线段PC上一点，PC⊥平面BDE．
（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAB．
（Ⅱ）若PA=4，AB=2，BC=1，求直线AC与平面PCD所成角的正弦值．
如图，已知四棱锥P--ABC的底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，e为PC的中点，F为AD的中点．
（Ⅰ）证明EF∥平面PAB；
（Ⅱ）证明EF⊥平面PBC；
（III）点M是四边形ABCD内的一动点，PM与平面ABCD所成的角始终为45°，求动直线PM所形成的曲面与平面ABCD、平面PAB、平面PAD所围成几何体的体积．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网