Question

命题：在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB，判断此命题是否为真命题．若是，请给予证明，若不是，请举出反例．

Answer 1

分析：方法一：利用正弦函数的单调性，及诱导公式，分当0＜B＜A≤

π

2

时和当0＜B＜

π

2

＜A＜π时两种情况，分别讨论原命题的真假，最后综合讨论结果可得答案．
方法二：根据三角形中大角对大边，可得a＞b，进而由正弦定理，得到结论．

解答：解：这个命题是真命题．
方法1：（1）当0＜B＜A≤

π

2

时，y=sinx在（0，

π

2

]单调递增，
∴sinB＜sinA．
（2）当0＜B＜

π

2

＜A＜π时，
∵A+B＜π，
∴

π

2

＜A＜π-B．
又∵y=sinx在（

π

2

，π）单调递减，
∴sinA＞sin（π-B）=sinB．
即sinB＜sinA．
方法2：使用正弦定理证明．
在△ABC中，若A＞B，则a＞b，
由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

=2R，
得2RsinA＞2RsinB
即sinA＞sinB成立．

点评：本题以命题的真假判断为载体考查了正弦函数的图象和性质，熟练掌握正弦函数的单调性是解答的关键．