Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，D分别是AB的中点．
（Ⅰ）证明：BC₁∥平面A₁CD；
（Ⅱ）设AA₁=AC=CB=2，，求三棱锥D-A₁CA的体积．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）连接AC₁ 交A₁C于点F，则DF为三角形ABC₁的中位线，故DF∥BC₁．再根据直线和平面平行的判定定理证得BC₁∥平面A₁CD．
（Ⅱ）由题意可得此直三棱柱的底面ABC为等腰直角三角形，由D为AB的中点可得CD⊥平面ABB₁A₁．求得CD的值，利用勾股定理求得A₁D、DE和A₁E的值，
可得A₁D⊥DE．进而求得的值，再根据三棱锥C-A₁DE的体积为，运算求得结果．
解答：解：（Ⅰ）证明：连接AC₁ 交A₁C于点F，则F为AC₁的中点．
∵直棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D，E分别是AB，BB₁的中点，
故DF为三角形ABC₁的中位线，故DF∥BC₁．
由于DF?平面A₁CD，而BC₁不在平面A₁CD中，
故有BC₁∥平面A₁CD．
（Ⅱ）∵AA₁=AC=CB=2，AB=2，
故此直三棱柱的底面ABC为等腰直角三角形．
由D为AB的中点可得CD⊥平面ABB₁A₁，
∴CD==．
∵A₁D==，
同理，利用勾股定理求得 DE=，A₁E=3．
再由勾股定理可得，∴A₁D⊥DE．
∴=A₁D•DE=，
∴=．
点评：本题主要考查直线和平面平行的判定定理的应用，求三棱锥的体积，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．