Question

（本小题满分14分）
已知函数是奇函数.
（1）求实数的值；
（2）判断函数在上的单调性，并给出证明；
（3）当时，函数的值域是，求实数与的值。

Answer 1

（1）（舍去）或.此时函数定义域为 ，关于原点对称。
（2）由单调函数的定义得：当时，在上是减函数.
同理当时，在上是增函数.
（3），.

试题分析：（1）由已知条件得
对定义域中的均成立.…………………………1分

即        …………………2分
对定义域中的均成立.    即（舍去）或.
此时函数定义域为 ，关于原点对称。      ……………4分
（2）由（1）得
设，
当时，
.                   ………………6分
当时，，即.………………7分
当时，在上是减函数. ……………………………8分
同理当时，在上是增函数. ……………………9分
（3）函数的定义域为，
① 当时， .
在为增函数，
要使值域为，则（无解）    ………………11分
②当时， .
在为减函数,
要使的值域为, 则
，.           ……………14分
点评：综合题，本题以复合对数函数为载体，综合考查对数函数的性质，函数的单调性，函数的奇偶性，对考生数学式子变形能力要求较高。