Question

在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是∠DAB=60°的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD．
（1）求直线BP与平面ABCD所成角的大小；
（2）若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）取AD的中点G，连结PG、BG、BD．正△PAD中利用“三线合一”，证出PG⊥AD，结合平面PAD⊥平面ABCD，得到PG⊥平面ABCD，可得∠PBG就是直线BP与平面ABCD所成角．再根据△ABD是与△PAD全等的正三角形，证出Rt△PBG中，是等腰直角三角形，可得∠PBG=45°，即得直线BP与平面ABCD所成角的大小；
（2）取PC 的中点F，连接DE、EF、DF，利用线面平行的判定定理证出EF∥平面PGB且DE∥平面PGB，结合EF∩DE=E，得平面DEF∥平面PGB．由（1）的结论PG⊥平面ABCD，结合面面垂直判定定理得到平面PGB⊥平面ABCD，从而得到平面DEF⊥平面ABCD，说明存在PC的中点F，使得平面DEF⊥平面ABCD．

解答：（1）取AD的中点G，连结PG、BG、BD
∵正△PAD中，PG为中线，∴PG⊥AD
又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PG⊥平面ABCD，可得∠PBG就是直线BP与平面ABCD所成角
∵在底面菱形ABCD中，∠DAB=60°，∴△ABD是与△PAD全等的正三角形
∴Rt△PBG中，PG=BG=

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AD，可得∠PBG=45°
即直线BP与平面ABCD所成角的大小为45°；
（2）当F为PC边的中点时，满足平面DEF⊥平面ABCD，证明如下：
取PC 的中点F，连接DE、EF、DF，
∵在△PBC中，EF∥PB，EF?平面PGB，PB?平面PGB，
∴EF∥平面PGB
在菱形ABCD中，BG∥DE，同理可得DE∥平面PGB
∵EF∩DE=E，∴平面DEF∥平面PGB，
∵PG⊥平面PGB，且PG?平面PGB，
∴平面PGB⊥平面ABCD，可得平面DEF⊥平面ABCD
因此存在PC的中点F，使得平面DEF⊥平面ABCD．

点评：本题在特殊四棱锥中求直线与平面所成角的大小，并探索面面垂直的存在性，着重考查了面面平行、面面垂直的位置关系判定和线面所成角大小求法等知识，属于中档题．