题目内容

定义在区间（-1，1）上的函数f（x）满足：
①对任意x，y∈（-1，1），都有 $数学公式$ ；
②当x∈（-1，0）时，f（x）＞0．求证：
（1）f（0）=0；
（2）f（x）在（-1，1）上是减函数；
（3） $数学公式$ ．

解：（1）令x=y=0，
有2f（0）=f（0），
∴f（0）=0；
（2）令-1＜x₁＜x₂＜1，则
f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）= $\text{[math]}$ ，
∵-1＜x₁＜x₂＜1，
∴x₁-x₂＜0，1-x₁•x₂＞0，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
即f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在（-1，1）上是减函数；
（3）令y=-x，则f（x）+f（-x）=f（0）=0，
∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）为奇函数；
∴-f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，①
$\text{[math]}$ ，②
…
$\text{[math]}$ ③
将上式①②…③n个式子累加有
$\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
=f（n+2）-f（2）= $\text{[math]}$ ，
又f（x）在（-1，1）上是减函数；
∴ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$
分析：（1）令x=y=0，代入条件关系即可；
（2）令-1＜x₁＜x₂＜1，然后构造f（x₁）-f（x₂），进而根据函数单调性的定义，进行判断即可；
（3）令y=-x，判断函数f（x）的奇偶性，可利用f（x）为奇函数，将要证 $\text{[math]}$ ，转化为：也就是去证明 $\text{[math]}$ ，即证明 $\text{[math]}$ ；而 $\text{[math]}$ =f（n+2）-f（n+1），利用累加法，结合函数f（x）在（-1，1）上是减函数即可证明结论成立．
点评：本题考查抽象函数及其应用，关键在于判断函数为奇函数后，灵活应用“对任意x，y∈（-1，1），都有 $\text{[math]}$ ”判断函数的单调性．属于难题．

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已知定义在区间（-1，1）上的函数f(x)=

为奇函数，且f(

．
（1）求实数a，b的值；
（2）用定义证明：函数f（x）在区间（-1，1）上是增函数；
（3）解关于t的不等式f（t-1）+f（t）＜0．

（2003•北京）设y=f（x）是定义在区间[-1，1]上的函数，且满足条件：（i）f（-1）=f（1）=0；（ii）对任意的u，v∈[-1，1]，都有|f（u）-f（v）|≤|u-v|．
（Ⅰ）证明：对任意的x∈[-1，1]，都有x-1≤f（x）≤1-x；
（Ⅱ）判断函数g(x)=

1+x，x∈[-1，0)

1-x，x∈[0，1]

是否满足题设条件；
（Ⅲ）在区间[-1，1]上是否存在满足题设条件的函数y=f（x），且使得对任意的u，v∈[-1，1]，都有|f（u）-f（v）|=u-v．
若存在，请举一例：若不存在，请说明理由．

已知定义在区间（-1，1）上的函数f(x)=

为奇函数，且f(

．
（1）求实数a，b的值；
（2）用定义证明：函数f（x）在区间（-1，1）上是增函数；
（3）解关于t的不等式f（t-1）+f（t）＜0．

已知函数f（x）定义在区间（-1，1）上，

，对任意x、y∈（-1，1），恒有

成立，又数列a_n满足

．
（1）在（-1，1）内求一个实数t，使得

；
（2）证明数列f（a_n）是等比数列，并求f（a_n）的表达式和

的值；
（3）是否存在m∈N^*，使得对任意n∈N^*，都有

成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，请说明理由．

已知函数f（x）定义在区间（-1，1）上，

，对任意x、y∈（-1，1），恒有

成立，又数列a_n满足

．
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；
（2）证明数列f（a_n）是等比数列，并求f（a_n）的表达式和

的值；
（3）是否存在m∈N^*，使得对任意n∈N^*，都有

成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，请说明理由．